कक्षा 6 गणित अध्याय 1 का परिचय – हमारी संख्याएँ जानना

कक्षा 6 की गणित की पाठ्यपुस्तक का अध्याय 1, जिसका शीर्षक है “हमारी संख्याएँ जानना”, छात्रों को संख्याओं की दुनिया से परिचित कराता है। यह अध्याय संख्याओं, उनके प्रकारों और उनके गुणों को समझने की नींव रखता है।

संख्याओं का परिचय
संख्याएँ हमारे रोजमर्रा के जीवन का एक अनिवार्य हिस्सा हैं। वे हमें गिनने, मापने और विभिन्न गणनाएँ करने में मदद करते हैं। गणित में, संख्याओं को विभिन्न श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है, और प्रत्येक श्रेणी के अपने अद्वितीय गुण और उपयोग होते हैं।

संख्याओं के प्रकार
इस अध्याय में, छात्र विभिन्न प्रकार की संख्याओं के बारे में सीखेंगे, जिनमें शामिल हैं:

1. प्राकृतिक संख्याएँ: प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होकर अनिश्चित काल तक चलने वाली गिनती की संख्याएँ हैं। उन्हें N = {1, 2, 3, 4, …} के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण: कक्षा में छात्रों की संख्या, एक टोकरी में सेबों की संख्या, आदि।

2. पूर्ण संख्याएँ: पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं की तरह होती हैं, लेकिन उनमें शून्य भी शामिल होता है। उन्हें W = {0, 1, 2, 3, …} के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण: पार्किंग में कारों की संख्या, शेल्फ पर किताबों की संख्या आदि की गिनती करना।

3. पूर्णांक: पूर्णांक में शून्य के साथ-साथ सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ शामिल होती हैं। इन्हें Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण: लाभ और हानि का प्रतिनिधित्व करना, शून्य से नीचे और ऊपर के तापमान को समझना, आदि।

4. परिमेय संख्याएँ: परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ हर शून्य नहीं होता है। इन्हें Q के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण: 1/2, -3/4, 7, आदि।

5. अपरिमेय संख्याएँ: अपरिमेय संख्याओं को दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। उनके पास गैर-दोहराव, गैर-समाप्ति दशमलव विस्तार हैं।

उदाहरण: π (pi), √2 (2 का वर्गमूल), आदि।

6. वास्तविक संख्याएँ: वास्तविक संख्याओं में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं। वे संख्या रेखा पर सभी संभावित बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। उन्हें आर के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण: कोई भी संख्या जिसके बारे में आप सोच सकते हैं, जिसमें 3.14, -5, √7, आदि शामिल हैं।

संख्याओं के गुण
संख्याओं में कुछ गुण होते हैं जो हमें विभिन्न गणितीय कार्य करने में मदद करते हैं। कुछ महत्वपूर्ण गुण हैं:

1. क्रमविनिमेय गुण: यह गुण बताता है कि जब हम संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते हैं तो उनका क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। जोड़ के लिए, a + b = b + a. गुणन के लिए, a × b = b × a.

उदाहरण: 3 + 5 = 5 + 3, और 2 × 4 = 4 × 2।

2. साहचर्य गुण: यह गुण बताता है कि जब हम संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते हैं तो उनका समूहन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। जोड़ के लिए, (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)। गुणन के लिए, (a × b) × c = a × (b × c)।

उदाहरण: (4 + 6) + 3 = 4 + (6 + 3), और (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5)।

3. पहचान तत्व: जोड़ के लिए, पहचान तत्व 0 है क्योंकि किसी भी संख्या a के लिए a + 0 = a। गुणन के लिए, पहचान तत्व 1 है क्योंकि किसी भी संख्या a के लिए a × 1 = a।

उदाहरण: 7 + 0 = 7, और 5 × 1 = 5।

4. प्रतिलोम तत्व: जोड़ने के लिए, संख्या ‘a’ का व्युत्क्रम ‘-a’ है क्योंकि a + (-a) = 0. गुणन के लिए, संख्या ‘a’ का व्युत्क्रम ‘1/a’ है क्योंकि a × (1/a) = 1.

उदाहरण: 8 + (-8) = 0, और 3 × (1/3) = 1।

5. वितरणात्मक संपत्ति: यह संपत्ति जोड़ और गुणा से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि a × (b + c) = (a × b) + (a × c)।

उदाहरण: 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4)।

संख्या रेखा
संख्याओं और उनके संबंधों की कल्पना करने में सहायता के लिए, अक्सर एक संख्या रेखा का उपयोग किया जाता है। यह एक सीधी रेखा है जिस पर अंक अंकित हैं। जैसे-जैसे आप दाईं ओर जाते हैं संख्याएँ बढ़ती जाती हैं और जैसे-जैसे आप बाईं ओर जाते हैं तो संख्याएँ घटती जाती हैं। संख्याओं के क्रम को समझने और जोड़-घटाव जैसे कार्यों को करने के लिए संख्या रेखा एक मूल्यवान उपकरण है।

उदाहरण: -3 से 3 तक की संख्याओं वाली एक संख्या रेखा पर विचार करें। आप संख्या रेखा का उपयोग करके जोड़ और घटाव जैसे विभिन्न कार्यों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 2 और 3 को जोड़ने के लिए, संख्या रेखा पर 2 से शुरू करें और दाईं ओर तीन कदम बढ़ें, 5 पर उतरें।

संख्याओं की तुलना
छात्र (> से अधिक), (< से कम), और (=) के बराबर की अवधारणाओं का उपयोग करके संख्याओं की तुलना करना सीखते हैं। उन्हें समझना चाहिए कि ये प्रतीक संख्याओं के सापेक्ष आकार का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उदाहरण: 5 और 8 की तुलना करें।
– 5 <8 (5, 8 से कम है)।
– 8 > 5 (8, 5 से बड़ा है)।

उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती
किसी संख्या का उत्तराधिकारी वह संख्या है जो उसके ठीक बाद आती है, जबकि पूर्ववर्ती वह संख्या है जो उसके ठीक पहले आती है।

उदाहरण:
– 7 का उत्तराधिकारी 8 है.
– 10 का पूर्ववर्ती 9 है.

संख्या व्यवस्थित करना
छात्रों को संख्याओं को आरोही (सबसे छोटे से सबसे बड़े तक) और अवरोही (बड़े से छोटे तक) क्रम में व्यवस्थित करना सिखाया जाता है। इससे उन्हें यह समझने में मदद मिलती है कि डेटा को कैसे व्यवस्थित किया जाए और पैटर्न कैसे खोजा जाए।

उदाहरण: संख्याओं 6, 2, 8, और 4 को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
– आरोही क्रम: 2, 4, 6, 8.

विस्तारित रूप में संख्याएँ
विस्तारित रूप किसी संख्या को उसके घटक स्थानीय मानों में तोड़ देता है। इससे विद्यार्थियों को किसी संख्या के प्रत्येक अंक का मान समझने में मदद मिलती है।

उदाहरण: संख्या 364 को विस्तारित रूप में लिखें।
– 364 = 300 + 60 + 4

अनुमान
अनुमान में किसी संख्या के मूल्य के बारे में शिक्षित अनुमान लगाना शामिल है। यह त्वरित आकलन करने के लिए एक उपयोगी कौशल है कि गणना का परिणाम उचित है या नहीं।

उदाहरण: 58 और 47 के योग का अनुमान लगाएं।
– अनुमान: 60 + 50 = 110

जगह की मूल्य
संख्याएँ कैसे काम करती हैं यह समझने में स्थानीय मान की अवधारणा महत्वपूर्ण है। किसी संख्या में प्रत्येक अंक का उसकी स्थिति के आधार पर एक विशिष्ट मान होता है।

उदाहरण: संख्या 325 में, अंक 3, 300 (सैकड़े का स्थान) को दर्शाता है, 2, 20 (दस के स्थान) को दर्शाता है, और 5, 5 (इकाई के स्थान) को दर्शाता है।

रोमन अंक
रोमन अंक एक प्राचीन अंक प्रणाली है जिसका उपयोग विभिन्न उद्देश्यों के लिए किया जाता है, जिसमें पुस्तकों के अध्याय, अनुभाग या पृष्ठों को क्रमांकित करना शामिल है।

उदाहरण: 50 का रोमन अंक “L” है और 100 का रोमन अंक “C” है। 55 को रोमन अंकों में लिखने के लिए, आपको “L” (50) और उसके बाद “V” (5) लिखना होगा, जिससे यह “LV” बन जाएगा।

अभाज्य और समग्र संख्याएँ
अभाज्य संख्याएँ हैं

1 से बड़ी प्राकृतिक संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं। दूसरी ओर, मिश्रित संख्याओं में दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।

उदाहरण:
– 2 एक अभाज्य संख्या है क्योंकि इसके केवल दो गुणनखंड हैं, 1 और 2।
– 4 एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।

कारक और गुणज
गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो किसी अन्य संख्या को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित कर देती हैं। गुणज वे संख्याएँ हैं जो किसी संख्या को पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं।

उदाहरण:
– 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं।
– 5 के गुणज 5, 10, 15, 20, 25 इत्यादि हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय
यह प्रमेय बताता है कि प्रत्येक मिश्रित संख्या को अभाज्य संख्याओं के अद्वितीय उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। संख्याओं की संरचना को समझने के लिए यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

उदाहरण: संख्या 36 को 2  2  3  3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो अभाज्य संख्याओं (2 और 3) का एक अद्वितीय गुणनफल है।

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया
अभाज्य गुणनखंडन में किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद में तोड़ना शामिल है।

उदाहरण: 48 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
– 48 = 2  2  2  2  3, जिसे 2^4  3 लिखा जाता है।

एचसीएफ (उच्चतम सामान्य कारक)
दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी को समान रूप से विभाजित करती है।

उदाहरण: 12 और 18 का एचसीएफ ज्ञात कीजिए।
– 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12।
– 18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
– 12 और 18 का HCF 6 है।

एलसीएम (न्यूनतम सामान्य गुणक)
दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या होती है जो उन सभी का गुणज होती है।

उदाहरण: 8 और 12 का एलसीएम ज्ञात करें।
– 8 के गुणज: 8, 16, 24, 32,…
– 12 के गुणज: 12, 24, 36,…
– 8 और 12 का एलसीएम 24 है।

संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ
छात्र परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करना सीखते हैं। परिमेय संख्याओं को पूर्ण संख्याओं के बीच विभिन्न बिंदुओं पर रखा जा सकता है।

उदाहरण: परिमेय संख्या 3/4 को संख्या रेखा पर निरूपित करें। संख्या रेखा पर 0, 1, 2, और 1/4, 1/2, 3/4, और 1 का पता लगाएँ। 3/4, 1/2 और 1 के बीच, 1 के करीब आता है।

परिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव
छात्र तर्कसंगत संख्याओं के साथ जोड़ और घटाव करना सीखते हैं। इन परिचालनों में एक सामान्य हर ढूंढना और फिर भिन्नों को जोड़ना या घटाना शामिल है।

उदाहरण: 3/5 और 2/3 जोड़ें।
– एक उभयनिष्ठ हर खोजें, जो 15 है।
– 3/5 को 15 के हर के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें: (3/5) x (3/3) = 9/15।
– 2/3 को 15 के हर के साथ समतुल्य भिन्न में बदलें: (2/3) x (5/5) = 10/15।
– अब भिन्नों को जोड़ें: 9/15 + 10/15 = 19/15.
– आप अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके 19/15 को सरल बना सकते हैं, जो कि 1 है। इसलिए, 19/15 अंतिम परिणाम है।

परिमेय संख्याओं का गुणन और भाग
छात्र परिमेय संख्याओं को गुणा और भाग करना भी सीखते हैं। भिन्नों को गुणा करने में अंश और हर को गुणा करना शामिल होता है, जबकि भिन्नों को विभाजित करने में व्युत्क्रम से गुणा करना शामिल होता है।

उदाहरण: 3/4 को 2/5 से विभाजित करें।
– भिन्नों को विभाजित करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम (2/5) से गुणा करें, जो 5/2 है।
– (3/4) ÷ (2/5) = (3/4) x (5/2).
– अंशों को गुणा करें: 3 x 5 = 15।
– हरों को गुणा करें: 4 x 2 = 8.
– परिणाम 15/8 है.

परिमेय संख्याओं से संबंधित शब्द समस्याएँ
छात्र उन शब्द समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं जिनमें तर्कसंगत संख्याएँ शामिल होती हैं। ये समस्याएँ अक्सर वास्तविक जीवन के परिदृश्यों से संबंधित होती हैं, जैसे वस्तुओं को साझा करना, मात्राएँ मापना और दूरियों की गणना करना।

उदाहरण: सारा ने एक पाई बेक की और उसे 6 बराबर टुकड़ों में काट लिया। उसने 3 टुकड़े खाये। उसने पाई का कितना भाग खाया?
– उसने 6 में से 3 टुकड़े खा लिए, इसलिए अंश 3/6 है।
– आप अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड से विभाजित करके इस भिन्न को सरल बना सकते हैं, जो कि 3 है। इसलिए, 3/6 सरल होकर 1/2 हो जाता है।

निष्कर्ष
इस अध्याय में, छात्रों को संख्याओं की दुनिया और उनके गुणों से परिचित कराया जाता है। वे विभिन्न प्रकार की संख्याओं के बारे में सीखते हैं, उनकी तुलना, क्रम और व्यवस्था कैसे करें, साथ ही तर्कसंगत संख्याओं के साथ जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसे विभिन्न ऑपरेशन भी करते हैं। वे अभाज्य संख्याओं, गुणनखंडों, गुणजों, एचसीएफ, एलसीएम और अंकगणित के मौलिक प्रमेय जैसी अवधारणाओं का भी पता लगाते हैं। यह ज्ञान बाद की कक्षाओं में अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं और समस्या-समाधान का आधार बनता है। एक मजबूत गणितीय नींव बनाने के लिए इन मूलभूत अवधारणाओं को समझना आवश्यक है।