कक्षा 6 गणित अध्याय 2 का परिचय – पूर्ण संख्याएँ।

कक्षा 6 की गणित पाठ्यपुस्तक का अध्याय 2, जिसका शीर्षक “संपूर्ण संख्याएँ” है, पूर्ण संख्याओं और उनके विभिन्न गुणों और संक्रियाओं पर केंद्रित है। इस अध्याय में, छात्र पूर्ण संख्याओं की दुनिया में गहराई से उतरेंगे, उनके गुणों को समझेंगे और उनके साथ अंकगणितीय संचालन कैसे करेंगे।

पूर्ण संख्याओं का परिचय

पूर्ण संख्याएँ संख्याओं की एक मौलिक श्रेणी है जिसमें शून्य के साथ-साथ सभी प्राकृतिक संख्याएँ (गिनती संख्याएँ) शामिल होती हैं। इस अध्याय में, छात्र पूर्ण संख्याओं के विभिन्न पहलुओं का पता लगाएंगे, जिसमें उनके गुणों को समझने से लेकर अंकगणितीय संचालन करने तक शामिल हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ

पूर्ण संख्याओं की गहराई में जाने से पहले, प्राकृतिक संख्याओं के साथ उनके संबंध को समझना महत्वपूर्ण है। प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, इत्यादि से शुरू होने वाली गिनती की संख्याएँ हैं। पूर्ण संख्याओं में शून्य के साथ-साथ सभी प्राकृतिक संख्याएँ शामिल होती हैं।

– प्राकृतिक संख्याएँ (एन): 1, 2, 3, 4, …
– पूर्ण संख्याएँ (डब्ल्यू): 0, 1, 2, 3, 4, …

पूर्ण संख्याओं के गुण

पूर्ण संख्याएँ कई गुण प्रदर्शित करती हैं जो विभिन्न गणितीय कार्यों को करने में मदद करती हैं। यहां कुछ प्रमुख गुण दिए गए हैं:

1. संवृत गुण: पूर्ण संख्याओं को जोड़ और गुणा के अंतर्गत बंद किया जाता है। इसका मतलब यह है कि जब आप दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ते या गुणा करते हैं, तो परिणाम भी एक पूर्ण संख्या होता है।

उदाहरण: 3 + 4 = 7 (एक पूर्ण संख्या), और 3 × 4 = 12 (एक पूर्ण संख्या)।

2. क्रमविनिमेय गुण: क्रमविनिमेय गुण पूर्ण संख्याओं के साथ जोड़ और गुणन के लिए होता है। इसमें कहा गया है कि संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने का क्रम बदलने से परिणाम पर कोई असर नहीं पड़ता है।

उदाहरण: 5 + 7 = 7 + 5, और 4 × 8 = 8 × 4।

3. साहचर्य गुण: साहचर्य गुण पूर्ण संख्याओं के साथ जोड़ और गुणा के लिए होता है। इसमें कहा गया है कि जोड़ी जाने वाली या गुणा की जाने वाली संख्याओं का समूह बदलने से परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

उदाहरण: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4), और (5 × 6) × 7 = 5 × (6 × 7)।

4. पहचान तत्व: जोड़ने के लिए पहचान तत्व 0 है क्योंकि किसी भी पूर्ण संख्या में 0 जोड़ने से उसका मान नहीं बदलता है। गुणन के लिए, पहचान तत्व 1 है क्योंकि किसी भी पूर्ण संख्या को 1 से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता है।

उदाहरण: 5 + 0 = 5, और 6 × 1 = 6।

5. प्रतिलोम तत्व: योग के लिए, पूर्ण संख्या ‘a’ का व्युत्क्रम ‘-a’ है क्योंकि a + (-a) = 0. 1 को छोड़कर पूर्ण संख्याओं में गुणक व्युत्क्रम नहीं होता है।

उदाहरण: 7 + (-7) = 0, और 1 × 1 = 1।

6. वितरणात्मक संपत्ति: वितरणात्मक संपत्ति जोड़ और गुणा से संबंधित है। इसमें कहा गया है कि a × (b + c) = (a × b) + (a × c)।

उदाहरण: 2 × (3 + 4) = (2 × 3) + (2 × 4)।

पूर्ण संख्याओं का योग

जोड़ पूर्ण संख्याओं के साथ मूलभूत संक्रियाओं में से एक है। दो या दो से अधिक पूर्ण संख्याओं को जोड़ते समय, अंकों को सही कॉलम में संरेखित करना और आवश्यकता पड़ने पर आगे बढ़ाते हुए दाएं से बाएं जोड़ना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: 456 और 237 जोड़ें।

456
+237
——-
693

पूर्ण संख्याओं का घटाव

घटाव पूर्ण संख्याओं के साथ एक और मौलिक ऑपरेशन है। एक पूर्ण संख्या को दूसरे से घटाते समय, अंकों को सही कॉलम में संरेखित करना और आवश्यक होने पर उधार लेना महत्वपूर्ण है।

उदाहरण: 768 में से 342 घटाएँ।

768
– 342
——-
426

पूर्ण संख्याओं का गुणन

गुणन में दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करना शामिल है। यह लंबी गुणन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है, जहां आप पहली संख्या के प्रत्येक अंक को दूसरी संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करते हैं और परिणाम जोड़ते हैं।

उदाहरण: 24 को 15 से गुणा करें।

24
× 15
——-
120 (24×5)
+ 24 (24 × 1, बाईं ओर एक स्थान स्थानांतरित)
——-
360

पूर्ण संख्याओं का विभाजन

विभाजन यह पता लगाने की क्रिया है कि एक संख्या दूसरी संख्या में कितनी बार समाहित है। यह लंबे विभाजन का उपयोग करके किया जा सकता है, जहां आप लाभांश के अंकों को विभाजक से विभाजित करते हैं, भागफल की गणना करते हैं, और यदि कोई शेष है तो उसका पता लगाते हैं।

उदाहरण: 368 को 7 से विभाजित करें।

52
__________
7 | 368
– 35
——-
30
– 28
——-
20

गुणन के गुण

गुणन में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो गणितीय गणना में उपयोगी होते हैं:

1. गुणन का क्रमविनिमेय गुण: गुणन का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण: 3 × 4 = 4 × 3.

2. गुणन का साहचर्य गुण: गुणा की जाने वाली संख्याओं का समूहीकरण परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

उदाहरण: (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5)।

3. गुणन का पहचान गुण: किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण: 7 × 1 = 7.

4. 0 से गुणा: किसी भी संख्या को 0 से गुणा करने पर परिणाम 0 आता है।

उदाहरण: 5 × 0 = 0.

5. किसी संख्या का स्वयं से गुणा करना: जब किसी संख्या को स्वयं से गुणा किया जाता है, तो परिणाम उस संख्या का वर्ग होता है।

उदाहरण: 6 × 6 = 36 (6 वर्ग)।

प्रभाग की संपत्तियां

प्रभाग में कुछ गुण हैं जो गणितीय गणना में उपयोगी हैं:

1. 1 से भाग: किसी भी संख्या को 1 से विभाजित करने पर वही संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण: 8 ÷ 1 = 8.

2. समान संख्या से भाग: किसी संख्या को उसी संख्या से विभाजित करने पर परिणाम 1 आता है।

उदाहरण: 7 ÷ 7 = 1.

3. 0 से विभाजन: 0 से विभाजन अपरिभाषित है। किसी संख्या को 0 से विभाजित करना संभव नहीं है।

उदाहरण: 6 ÷ 0 अपरिभाषित है।

विभाज्यता नियम

विभाज्यता नियम शीघ्रता से यह निर्धारित करने में सहायक होते हैं कि विभाजन किए बिना एक संख्या दूसरे से विभाज्य है या नहीं। यहां पूर्ण संख्याओं के लिए कुछ सामान्य विभाज्यता नियम दिए गए हैं:

1. 2 से विभाज्यता: कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो, अर्थात वह 0, 2, 4, 6, या 8 पर समाप्त हो।

उदाहरण: 254, 2 से विभाज्य है क्योंकि इसका अंतिम अंक 4 है।

2. 3 से विभाज्यता: एक संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

उदाहरण: 369, 3 से विभाज्य है क्योंकि 3 + 6 + 9 = 18, और 18, 3 से विभाज्य है।

3. 4 से विभाज्यता: एक संख्या 4 से विभाज्य होती है

यदि अंतिम दो अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य है।

उदाहरण: 1,284, 4 से विभाज्य है क्योंकि 84, 4 से विभाज्य है।

4. 5 से विभाज्यता: एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक 0 या 5 है।

उदाहरण: 375, 5 से विभाज्य है क्योंकि इसका अंतिम अंक 5 है।

5. 6 से विभाज्यता: एक संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।

उदाहरण: 234, 6 से विभाज्य है क्योंकि यह 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।

6. 9 से विभाज्यता: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

उदाहरण: 1,989, 9 से विभाज्य है क्योंकि 1 + 9 + 8 + 9 = 27, और 27, 9 से विभाज्य है।

7. 10 से विभाज्यता: यदि कोई संख्या 0 पर समाप्त होती है तो वह 10 से विभाज्य होती है।

उदाहरण: 450 10 से विभाज्य है क्योंकि यह 0 पर समाप्त होता है।

प्रमुख संख्या

अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी पूर्ण संख्याएँ होती हैं जिनमें केवल दो अलग-अलग सकारात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं संख्या। अभाज्य संख्याएँ संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं और अन्य सभी संख्याओं के लिए निर्माण खंड हैं।

उदाहरण: कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।

समग्र संख्या

मिश्रित संख्याएँ 1 से बड़ी पूर्ण संख्याएँ होती हैं जिनमें दो से अधिक भिन्न धनात्मक भाजक होते हैं। दूसरे शब्दों में, उन्हें 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण: कुछ भाज्य संख्याएँ 4, 6, 8, 9, 10 और 12 हैं।

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया

अभाज्य गुणनखंडन एक मिश्रित संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में तोड़ने की प्रक्रिया है। यह संख्या सिद्धांत में एक मौलिक अवधारणा है।

उदाहरण: 24 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
– 24 को 2 × 2 × 2 × 3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे 2^3 × 3 के रूप में लिखा जाता है।

सामान्य गुणज

दो या दो से अधिक संख्याओं के सामान्य गुणज पूर्ण संख्याएँ होती हैं जिन्हें दी गई प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण: 3 और 4 के सार्व गुणज ज्ञात कीजिए।
– 3 के गुणज: 3, 6, 9, 12, 15,…
– 4 के गुणज: 4, 8, 12, 16, 20, …
– 3 और 4 के सामान्य गुणज 12, 24, 36, … हैं

न्यूनतम समापवर्त्य (एलसीएम)

दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक वह सबसे छोटा गुणज होता है जो दी गई प्रत्येक संख्या से समान रूप से विभाज्य होता है।

उदाहरण: 3 और 4 का LCM ज्ञात करें।
– 3 और 4 के सामान्य गुणज 12, 24, 36, … हैं
– 3 और 4 का LCM 12 है क्योंकि यह सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उच्चतम सामान्य कारक (एचसीएफ)

दो या दो से अधिक संख्याओं का उच्चतम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या होती है जो दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित कर सकती है।

उदाहरण: 18 और 24 का HCF ज्ञात कीजिए।
– 18 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
– 24 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24।
– 18 और 24 के सामान्य गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं।
– 18 और 24 का HCF 6 है क्योंकि यह सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड है।

पूर्णांकों से संबंधित शब्द समस्याएँ

इस अध्याय में पूर्ण संख्याओं से संबंधित शब्द समस्याएं भी शामिल हैं, जो व्यावहारिक परिदृश्य हैं जिनके लिए छात्रों को जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अपने ज्ञान को लागू करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण: एक बेकरी में 48 कुकीज़ हैं, और वे उन्हें 6 कुकीज़ वाले बक्सों में पैक करना चाहते हैं। उन्हें कितने बक्सों की आवश्यकता होगी?
– आवश्यक बक्सों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुकीज़ की कुल संख्या (48) को प्रति बॉक्स कुकीज़ की संख्या (6) से विभाजित करें।
– 48 ÷ 6 = 8.
– बेकरी को 8 बक्सों की जरूरत होगी.

निष्कर्ष

अध्याय 2, “पूर्ण संख्याएँ”, संख्याओं और अंकगणितीय संक्रियाओं की दुनिया को समझने के लिए एक आवश्यक आधार है। इसमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग सहित पूर्ण संख्याओं के विभिन्न गुणों को शामिल किया गया है। इसके अतिरिक्त, यह छात्रों को विभाज्यता नियमों, अभाज्य और मिश्रित संख्याओं, अभाज्य गुणनखंडन, सामान्य गुणकों, एलसीएम, एचसीएफ और शब्द समस्याओं की अवधारणाओं से परिचित कराता है, जिनके लिए इन गणितीय अवधारणाओं को वास्तविक दुनिया की स्थितियों में लागू करने की आवश्यकता होती है।

एक मजबूत गणितीय नींव बनाने के लिए इन मूलभूत अवधारणाओं को समझना महत्वपूर्ण है, जो बाद की कक्षाओं में अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं और समस्या-समाधान के आधार के रूप में काम करेगा। संपूर्ण संख्याएँ रोजमर्रा की जिंदगी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, और विज्ञान और इंजीनियरिंग से लेकर वित्त और रोजमर्रा के कार्यों तक विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए इन अवधारणाओं में महारत हासिल करना आवश्यक है।