NCERT पाठ्यपुस्तकों की सामग्री, जिसमें कक्षा 7 गणित अध्याय 9 भी शामिल है, लेकिन मैं निर्दिष्ट शब्द सीमा के भीतर तर्कसंगत संख्याओं से संबंधित मौलिक अवधारणाओं का व्यापक अवलोकन प्रदान कर सकता हूं।
अध्याय 9: परिमेय संख्याएँ – मूल अवधारणाएँ और सूत्र
- परिमेय संख्याओं का परिचय:
– परिभाषा: परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ अंश और हर पूर्णांक होते हैं, और हर शून्य नहीं होता है।
– प्रतिनिधित्व: \( \frac{a}{b} \), जहां \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं, और \( b \neq 0 \).
- परिमेय संख्याओं के गुण:
– जोड़ और गुणा के अंतर्गत समापन: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं का योग और गुणनफल भी परिमेय होता है।
– घटाव के अंतर्गत समापन: दो परिमेय संख्याओं का अंतर परिमेय होता है।
– विभाजन के अंतर्गत समापन: दो परिमेय संख्याओं का भागफल परिमेय होता है, बशर्ते भाजक शून्य न हो।
- समतुल्य परिमेय संख्याएँ:
– परिमेय संख्याएँ जो समान मान दर्शाती हैं।
– अंश और हर को एक ही गैर-शून्य पूर्णांक से गुणा या विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
- संख्या रेखा पर परिमेय संख्याएँ:
– संख्या रेखा निरूपण: परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर आलेखित किया जाता है।
– परिमेय संख्याओं का क्रम: यह समझना कि संख्या रेखा पर परिमेय संख्याओं को कैसे क्रमबद्ध किया जाता है।
- परिमेय संख्याओं के साथ संक्रियाएँ:
– जोड़ना और घटाना:
– परिमेय संख्याओं को जोड़ने या हटाने में एक सामान्य हर ढूंढना और फिर हर को अपरिवर्तित रखते हुए अंशों को जोड़ना या घटाना शामिल है।
– गुणा:
– नया अंश प्राप्त करने के लिए अंशों को गुणा करें और नया हर प्राप्त करने के लिए हरों को गुणा करें।
– विभाजन:
– भाजक को उल्टा करें (उसे व्युत्क्रम में बदलें) और फिर गुणा करें।
- परिमेय संख्याओं का व्युत्क्रम:
– पारस्परिक परिभाषा: एक गैर-शून्य परिमेय संख्या \( \frac{a}{b} \) का व्युत्क्रम \( \frac{1}{\frac{a}{b}} \) या \( है \frac{b}{a} \).
– गुणात्मक व्युत्क्रम: एक परिमेय संख्या और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल हमेशा 1 होता है।
- शब्द समस्याओं में परिमेय संख्याओं के साथ संचालन:
– जोड़, घटाव, गुणा और भाग से संबंधित शब्द समस्याएं:
– वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए तर्कसंगत संख्या संचालन लागू करना।
– मात्रा, दूरियां और अनुपात से जुड़े उदाहरण।
- अभाज्य गुणनखंडीकरण और परिमेय संख्याओं का सरलीकरण:
– अभाज्य गुणनखंडन: किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना।
– परिमेय संख्याओं को सरल बनाना: अंश और हर में सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके भिन्नों को सरल बनाएं।
- निम्नतम समापवर्त्य (एलसीएम) और महानतम समापवर्तक (जीसीडी):
– एलसीएम: दो या दो से अधिक संख्याओं का सबसे छोटा गुणज।
– जीसीडी (एचसीएफ): वह सबसे बड़ी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं को बिना कोई शेष बचे विभाजित कर देती है।
- परिमेय संख्याओं से युक्त समीकरणों को हल करना:
– समानता के सिद्धांतों का उपयोग करके उन समीकरणों को हल करना जहां तर्कसंगत संख्याएं शामिल हैं।
– तर्कसंगत गुणांक वाले समीकरणों के उदाहरण।
11 परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार:
– दशमलव निरूपण: परिमेय संख्याओं को दशमलव के रूप में दर्शाया जा सकता है।
– समाप्ति और गैर-समाप्ति दशमलव: दशमलव विस्तार के प्रकारों को समझना।
- परिमेय संख्याओं के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग:
– वित्त: ब्याज दरों और मुद्रा विनिमय में तर्कसंगत संख्याएँ शामिल होती हैं।
– माप: लंबाई, वजन और तापमान को तर्कसंगत संख्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है।
- भिन्न, दशमलव और प्रतिशत:
– फ़ॉर्म के बीच रूपांतरण: भिन्न, दशमलव और प्रतिशत के बीच संबंधों को समझना।
– रूपांतरण प्रक्रिया को दर्शाने वाले उदाहरण।
- प्रमुख सूत्रों का सारांश:
– भिन्नों का जोड़ और घटाव:
– \( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)
– \( \frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{ad – bc}{bd} \)
– भिन्नों का गुणन:
– \( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)
– अंशों का विभाजन:
– \( \frac{a}
- गणित में परिमेय संख्याओं का महत्व:
– बीजगणित का आधार: तर्कसंगत संख्याएँ अधिक उन्नत बीजगणितीय अवधारणाओं का आधार बनती हैं।
– ज्यामिति में अनुप्रयोग: ज्यामितीय संबंधों में अनुपात और अनुपात महत्वपूर्ण हैं।
यह संक्षिप्त अवलोकन एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित अध्याय 9 में तर्कसंगत संख्याओं से संबंधित प्राथमिक अवधारणाओं और सूत्रों को शामिल करता है।
