NCERT कक्षा 7 गणित अध्याय 6, “त्रिकोण और उसके गुण” से बुनियादी अवधारणाओं और सूत्रों को शामिल करते हुए एक विस्तृत सारांश प्रदान करें। स्पष्टता और गहराई सुनिश्चित करने के लिए, यह सारांश त्रिकोण से संबंधित प्रमुख अवधारणाओं, गुणों और सूत्रों को कवर करेगा।
अध्याय 6: त्रिभुज और उसके गुण
- परिचय:
– त्रिकोण विभिन्न गुणों और अनुप्रयोगों के साथ मौलिक ज्यामितीय आकार हैं।
– यह अध्याय विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों, उनके गुणों और उनकी भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों की पड़ताल करता है।
- त्रिभुजों के प्रकार:
– समबाहु त्रिभुज: इसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।
– समद्विबाहु त्रिभुज: कम से कम दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
– स्केलीन त्रिभुज: कोई भी भुजाएँ समान नहीं होतीं।
- त्रिभुज में कोणों का योग:
– किसी भी त्रिभुज में आंतरिक कोणों का योग हमेशा \(180^\circ\) होता है।
– सूत्र: \( \कोण A + \कोण B + \कोण C = 180^\circ \)
- त्रिभुज का बाहरी कोण:
– किसी त्रिभुज का बाहरी कोण उसके आंतरिक सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
– सूत्र: \(\text{बाहरी कोण} = \कोण A + \कोण B\) या \(\कोण C\)
- पाइथागोरस प्रमेय:
– एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई (\(c\)) का वर्ग अन्य दो भुजाओं (\(a\) और \(b\) की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है )).
– सूत्र: \(c^2 = a^2 + b^2\)
- समद्विबाहु और समबाहु त्रिभुजों के गुण:
– समद्विबाहु त्रिभुज गुण:
– समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
– समबाहु त्रिभुज गुण:
– सभी कोण बराबर (\(60^\circ\) प्रत्येक) हैं।
– सभी पक्ष बराबर हैं.
- त्रिभुजों की समानता:
– दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों।
– समानता के लिए मानदंड:
– \( \कोण ए = \कोण पी, \कोण बी = \कोण क्यू, \कोण सी = \कोण आर \)
– \( \frac{AB}{BC} = \frac{PQ}{QR} = \frac{AC}{PR} \)
- त्रिभुजों की सर्वांगसमता:
– दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हों।
– सर्वांगसमता के मानदंड:
– \( \कोण ए = \कोण पी, \कोण बी = \कोण क्यू, \कोण सी = \कोण आर \)
– \(बीसी = पीक्यू, एसी = पीआर, एबी = क्यूआर \)
- त्रिभुज अवधारणाओं के अनुप्रयोग:
– ऊंचाई, दूरी या कोण से जुड़ी वास्तविक दुनिया की समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोण गुण लागू करें।
– नेविगेशन, सर्वेक्षण और वास्तुकला में अवधारणाओं का उपयोग करें।
- त्रिभुजों का परिमाप और क्षेत्रफल:
– परिधि: तीनों भुजाओं की लंबाई का योग।
– \( \text{परिधि} = AB + BC + AC \)
– क्षेत्र: सूत्र \( \text{क्षेत्र} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \) का उपयोग करके गणना की जाती है।
– आधार \(b\) और ऊंचाई \(h\) वाले त्रिभुज के लिए: \( \text{क्षेत्र} = \frac{1}{2} bh \)
11. बगुला का सूत्र:
– हेरोन का फॉर्मूला एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करता है जब तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो।
– सूत्र: \( \text{क्षेत्र} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), जहां \(s\) अर्ध-परिधि है और \(a\), \( b\), और \(c\) भुजाएँ हैं।
- त्रिभुजों का निर्माण:
– दी गई स्थितियों, जैसे कि भुजाओं की लंबाई या कोण, के आधार पर त्रिभुज बनाने के लिए कंपास और स्ट्रेटएज का उपयोग करें।
– सटीक त्रिकोण बनाने के लिए विशिष्ट निर्माण चरणों का पालन करें।
- त्रिभुज का परिकेन्द्र और अन्तःकेन्द्र:
– परिकेंद्र: भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु।
– अंकेन्द्र: कोण के समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु।
- त्रिभुज की ऊँचाई और माध्यिकाएँ:
– ऊंचाई: एक शीर्ष से विपरीत दिशा तक लंबवत।
– माध्यिकाएँ: एक शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्यबिंदु तक की रेखाएँ।
- समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपात:
– बुनियादी त्रिकोणमितीय अनुपात का परिचय: साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा।
– समकोण त्रिभुजों को हल करने में इन अनुपातों का अनुप्रयोग।
यह व्यापक सारांश एनसीईआरटी कक्षा 7 गणित अध्याय 6, “त्रिभुज और उसके गुण” से प्राथमिक अवधारणाओं और सूत्रों को शामिल करता है।